Regular self-similar solutions of the nonlinear heat equation with initial data above the singular steady state

Abstract

We prove the existence of positive regular solutions of the Cauchy problem for the nonlinear heat equation u_t=Δu+|u|^αu , with initial value μV , for all μ>1 close enough to 1 , where V is the singular stationary solution in \mathbb{R}^{N} . This result is obtained when N>2 and \frac{2}{N - 2} < \alpha < \alpha^* , where α^∗ is the critical power for the intersection properties of V with regular stationary solutions. Moreover, for μ as above, there exist at least two positive regular solutions with initial value μV . These results are optimal since it is known that no such solution exists if α≥α^∗ . Résumé Nous montrons l’existence de solutions positives régulières du problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur non linéaire u_t=Δu+|u|^αu , avec donnée initiale μV , pour tout μ>1 assez proche de 1 , où V est la solution stationnaire singulière dans \mathbb{R}^{N} . Ce résultat est obtenu pour N>2 et \frac{2}{N - 2} < \alpha < \alpha^* , où α^∗ est la puissance critique pour les propriétés d’intersection de V avec les solutions stationnaires régulières. De plus, pour μ comme ci-dessus, il existe au moins deux solutions positives régulières avec donnée initiale μV . Ces résultats sont optimaux, car on savait déjà que de telles solutions ne peuvent exister si α≥α^∗ .