Semilinear equations with exponential nonlinearity and measure data

Abstract

We study the existence and non-existence of solutions of the problem \tag{0.1} \begin{cases} −\mathrm{\Delta }u + \mathrm{e}^{u}−1 = \mu & \mathrm{in}\:\Omega , \\ u = 0 & \mathrm{on}\:\partial \Omega , \end{cases} where Ω is a bounded domain in \mathbb{R}^{N} , N⩾3 , and μ is a Radon measure. We prove that if \mu ⩽4\pi \mathcal{H}^{N−2} , then (0.1) has a unique solution. We also show that the constant 4π in this condition cannot be improved. Résumé Nous étudions l'existence et la non existence des solutions de l'équation \tag{0.2} \begin{cases} −\mathrm{\Delta }u + \mathrm{e}^{u}−1 = \mu & \mathrm{dans}\:\Omega , \\ u = 0 & \mathrm{sur}\:\partial \Omega , \end{cases} où Ω est un domaine borné dans \mathbb{R}^{N} , N⩾3 , et μ est une mesure de Radon. Nous démontrons que si μ vérifie \mu ⩽4\pi \mathcal{H}^{N−2} , alors le problème (0.2) admet une unique solution. Nous montrons que la constante 4π dans cette condition ne peut pas être améliorée.