Existence of homoclinic orbits for a class of p-Laplacian systems in a weighted Sobolev space

Abstract

Abstract By applying the mountain pass theorem and symmetric mountain pass theorem in critical point theory, the existence of at least one or infinitely many homoclinic solutions is obtained for the following p -Laplacian system: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> are not periodic in t . MSC: 34C37, 35A15, 37J45, 47J30.