A characterization of the Clifford torus

Abstract

In this paper, we prove that an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -dimensional closed minimal hypersurface <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with Ricci curvature <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R i c left-parenthesis upper M right-parenthesis greater-than-or-equal-to StartFraction n Over 2 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Ric(M) \geq \dfrac {n}{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a unit sphere <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Superscript n plus 1 Baseline left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^{n+1}(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is isometric to a Clifford torus if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n less-than-or-equal-to upper S less-than-or-equal-to n plus StartFraction 14 left-parenthesis n plus 4 right-parenthesis Over 9 n plus 30 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>14</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>30</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\leq S\leq n+\frac {14(n+4)}{9n+30}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the squared norm of the second fundamental form of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .