A Wold-type decomposition for commuting isometric pairs

Abstract

We obtain a Wold-type decomposition theorem for an arbitrary pair of commuting isometries <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on a Hilbert space. More precisely, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> can be uniquely decomposed into the orthogonal sum between a bi-unitary, a shift-unitary, a unitary-shift and a weak bi-shift part, that is, a part <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S equals left-parenthesis upper S 1 comma upper S 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S=(S_1,S_2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that can be characterized by the condition that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S 1 upper S 2 comma upper S 1 vertical-bar Subscript intersection Underscript n greater-than-or-equal-to 0 Endscripts kernel upper S 2 Sub Superscript asterisk Subscript upper S 1 Sub Superscript n Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munder> <mml:mo>⋂</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>ker</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_1S_2,\ S_1|_{\bigcap _{n\ge 0}\ker S_2^*S_1^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S 2 vertical-bar Subscript intersection Underscript n greater-than-or-equal-to 0 Endscripts kernel upper S 1 Sub Superscript asterisk Subscript upper S 2 Sub Superscript n Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munder> <mml:mo>⋂</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>ker</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_2|_{\bigcap _{n\ge 0}\ker S_1^*S_2^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are shifts. Moreover, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains bi-shift and modified bi-shift maximal parts.