Existence of Kirillov–Reshetikhin crystals for nonexceptional types

Abstract

Using the methods of Kang et al. and recent results on the characters of Kirillov–Reshetikhin modules by Nakajima and Hernandez, the existence of Kirillov–Reshetikhin crystals <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Superscript r comma s"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B^{r,s}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is established for all nonexceptional affine types. We also prove that the crystals <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Superscript r comma s"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B^{r,s}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of type <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Subscript n Superscript left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B_n^{(1)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Subscript n Superscript left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D_n^{(1)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript 2 n minus 1 Superscript left-parenthesis 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_{2n-1}^{(2)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are isomorphic to recently constructed combinatorial crystals for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> not a spin node.