Symbol length in the Brauer group of a field

Abstract

We bound the symbol length of elements in the Brauer group of a field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> containing a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript m"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> field (for example any field containing an algebraically closed field or a finite field), and solve the local exponent-index problem for a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript m"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In particular, for a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript m"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we show that every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> central simple algebra of exponent <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript t"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^t</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is similar to the tensor product of at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="l e n left-parenthesis p Superscript t Baseline comma upper F right-parenthesis less-than-or-equal-to t left-parenthesis p Superscript m minus 1 Baseline minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>len</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {len}(p^t,F)\leq t(p^{m-1}-1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> symbol algebras of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript t"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^t</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We then use this bound on the symbol length to show that the index of such algebras is bounded by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis p Superscript t Baseline right-parenthesis Superscript left-parenthesis p Super Superscript m minus 1 Superscript minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(p^t)^{(p^{m-1}-1)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , which in turn gives a bound for any algebra of exponent <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics>