Spaces of geodesics of pseudo-Riemannian space forms and normal congruences of hypersurfaces

Abstract

We describe natural Kähler or para-Kähler structures of the spaces of geodesics of pseudo-Riemannian space forms and relate the local geometry of hypersurfaces of space forms to that of their normal congruences, or Gauss maps, which are Lagrangian submanifolds. The space of geodesics <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript plus-or-minus Baseline left-parenthesis double-struck upper S Subscript p comma 1 Superscript n plus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ± </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^{\pm }(\mathbb {S}^{n+1}_{p,1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a pseudo-Riemannian space form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper S Subscript p comma 1 Superscript n plus 1"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {S}^{n+1}_{p,1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of non-vanishing curvature enjoys a Kähler or para-Kähler structure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis double-struck upper J comma double-struck upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">J</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\mathbb {J},\mathbb {G})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which is in addition Einstein. Moreover, in the three-dimensional case, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript plus-or-minus Baseline left-parenthesis double-struck upper S Subscript p comma 1 Superscript n plus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ± </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^{\pm }(\mathbb {S}^{n+1}_{p,1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> enjoys another Kähler or para-Kähler structure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis double-struck upper J prime comma double-struck upper G prime right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">J</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\mathbb {J}’,\mathbb {G}’)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which is scalar flat. The normal congruence of a hypersurface <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {S}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper S Subscript p comma 1 Superscript n plus 1"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>