Ground states of nonlinear Schrödinger equations with potentials

Abstract

In this paper we study the nonlinear Schrödinger equation: \left\{\begin{matrix} −\mathrm{\Delta }u + V(x)u = f(x,u), \\ u∊H^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right). \\ \end{matrix}\right. We give general conditions which assure the existence of ground state solutions . Under a Nehari type condition, we show that the standard Ambrosetti–Rabinowitz super-linear condition can be replaced by a more natural super-quadratic condition. Résumé Dans cet article nous étudions l'équation non-linéaire de Schrödinger : \left\{\begin{matrix} −\mathrm{\Delta }u + V(x)u = f(x,u), \\ u∊H^{1}\left(\mathbb{R}^{N}\right). \\ \end{matrix}\right. Nous donnons les conditions générales qui garantissent l'existence de solutions d'énergie minimale. Sous une condition de type Nehari, nous démontrons que la condition super-linéaire d'Ambrosetti–Rabinowitz peut être remplacée par une condition super-quadratique plus naturelle.