Approximation of fixed points of strongly pseudocontractive mappings

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a real Banach space with a uniformly convex dual, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a nonempty closed convex and bounded subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T colon upper K right-arrow upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T:K \to K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a continuous strongly pseudocontractive mapping of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into itself. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace c Subscript n Baseline right-brace Subscript n equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ {c_n}\} _{n = 1}^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a real sequence satisfying: (i) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than c Subscript n Baseline greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; {c_n} &gt; 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-slanted-equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geqslant 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (ii) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts c Subscript n Baseline equals normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum \nolimits _{n = 1}^\infty {{c_n} = \infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; and (iii) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts c Subscript n Baseline b left-parenthesis c Subscript n Baseline right-parenthesis greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum \nolimits _{n = 1}^\infty {{c_n}b({c_n}) &gt; \infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b colon left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis right-arrow left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b:[0,\infty ) \to [0,\infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is some continuous nondecreasing function satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b left-parenthesis 0 right-parenthesis equals 0 comma b left-parenthesis c t right-parenthesis less-than-or-slanted-equals c b left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b(0) = 0,\,b(ct) \leqslant cb(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c greater-than-or-slanted-equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c \geqslant 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then the sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace x Subscript n Baseline right-brace Subscript n equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ {x_n}\} _{n = 1}^\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> generated by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x 1 element-of upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn>