Multipliers and linear functionals for the class 𝑁⁺

Abstract

Multipliers for the classes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are studied recently by several authors, see Duren’s book, <italic> Theory of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> spaces </italic> , Academic Press, New York, 1970. Here we consider corresponding problems for the class <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{N^ + }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of holomorphic functions in the unit disk such that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript r right-arrow 1 Endscripts integral Subscript 0 Superscript 2 pi Baseline log Superscript plus Baseline StartAbsoluteValue f left-parenthesis r e Superscript i theta Baseline right-parenthesis EndAbsoluteValue d theta equals integral Subscript 0 Superscript 2 pi Baseline log Superscript plus Baseline StartAbsoluteValue f left-parenthesis e Superscript i theta Baseline right-parenthesis EndAbsoluteValue d theta greater-than normal infinity period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>log</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi> θ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>log</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi> θ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{r \to 1} \int _0^{2\pi } {{{\log }^ + }} |f(r{e^{i\theta }})|d\theta = \int _0^{2\pi } {{{\log }^ + }|f({e^{i\theta }})|} d\theta &gt; \infty .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> Our results are: 1. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Superscript plus"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{N^ + }</mml:annotatio