Maps between topological groups that are homotopic to homomorphisms

Abstract

Let <italic>G</italic> be a compact connected group and let <italic>H</italic> be a locally compact abelian group. Denote by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript e Baseline left-parenthesis upper G comma upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C_e}(G,H)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the space of all identity preserving continuous functions from <italic>G</italic> to <italic>H</italic> with the compact-open topology, and denote by Hom( <italic>G, H</italic> ) the space of all homomorphisms in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript e Baseline left-parenthesis upper G comma upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C_e}(G,H)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript e Baseline left-parenthesis upper G comma upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C_e}(G,H)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is isomorphic to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V times hom left-parenthesis upper G comma upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>Hom</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V \times {\text {Hom}}(G,H)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <italic>V</italic> is a topological vector space. This is used to prove that every element of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript e Baseline left-parenthesis upper G comma upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C_e}(G,H)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is homotopic to precisely one element of Hom( <italic>G, H</italic> ). We also prove that the fundamental group of <italic>H</italic> is isomorphic to Hom( <italic>K, H</italic> ), <italic>K</italic> being the circle group, that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="pi Subscript n Baseline left-parenthesis upper H right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\pi _n}(H) = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-over-equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≧ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geqq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and that a compact connected abelian group admits essentially only one <italic>H</italic> -space structure.