Fixed point theorems in reflexive Banach spaces

Abstract

In this paper fixed point theorems are established first for mappings <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , mapping a closed bounded convex subset <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a reflexive Banach space into itself and satisfying <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue upper T x minus upper T y StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue less-than-over-equals one half left-brace StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue x minus upper T x StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue plus StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue y minus upper T y StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue comma x comma y element-of upper K comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≦ </mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">||Tx - Ty|| \leqq \tfrac {1}{2}\{ ||x - Tx|| + ||y - Ty||,\quad x,y \in K,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and then an analogous result is obtained for nonexpansive mappings giving rise to a question regarding the unification of these theorems.