Long-time vanishing properties of solutions of some semilinear parabolic equations

Abstract

We study the long-time behavior of solutions of semilinear parabolic equations of the following type (PE) ∂_tu−∇.A(x,t,u,∇u)+f(x,u)=0 where f(x,u)≈b(x)|u|^{q−1}u , b being a nonnegative bounded and measurable function and q a real number such that 0≤q<1 . We give criteria which imply that any solution of the above equations vanishes in finite time and these criteria are associated to semi-classical limits of some Schrödinger operators. We also give a series of sufficient conditions on b(x) which imply that any supersolution with positive initial data does not to vanish identically for any positive t . Résumé Nous étudions le comportement en temps grand de solutions d’équations paraboliques du type (PE) ∂_tu−∇.A(x,t,u,∇u)+f(x,u)=0 , où f(x,u)≈b(x)|u|^{q−1}u , b étant une fonction positive, bornée et mesurable, et q un nombre réel tel que 0≤q<1 . Nous donnons des critères qui impliquent que toute solution des équations ci-dessus devient identiquement nulle en temps fini et ces critères sont associés à des problèmes de limite semi-classique d’opérateurs de Schrödinger. Nous donnons aussi une série de conditions suffisantes sur b(x) qui impliquent que toute sur-solution avec des données initiales positives ne devient jamais identiquement égale à zéro.