On invertible hypercyclic operators

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an invertible (bounded linear) operator acting on a complex Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is called <italic>hypercyclic</italic> if there is a vector <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y"> <mml:semantics> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the orbit <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O r b left-parenthesis upper A semicolon y right-parenthesis colon equals StartSet y comma upper A y comma upper A squared comma y comma ellipsis EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Orb</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Orb}(A;y): = \{ y,Ay,{A^2},y, \ldots \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is dense in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (<inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is necessarily separable and infinite dimensional.) <bold>Theorem 1.</bold> <italic>The following are equivalent for an invertible operator A acting on</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X colon left-parenthesis i right-parenthesis upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>i</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}:({\text {i}})A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>or</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A^{ - 1}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>is hypercyclic</italic>; (ii) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A^{ - 1}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>are hypercyclic</italic>; (iii) <italic>there is a vector</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z"> <mml:semantics> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>such that</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O r b left-parenthesis upper A semicolon z right-parenthesis Superscript minus Baseline equals upper O r b left-parenthesis upper A Superscript negative 1 Baseline semicolon z right-parenthesis Superscript minus Baseline equals script upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Orb</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Orb</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>;z</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Orb}(A;z)^ - = \operatorname {Orb}({A^{ - 1}}{\text {;z}})^ - = \mathcal {X}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (<italic>the upper bar denotes norm-closure</italic>); (iv) <italic>there is a vector</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y"> <mml:semantics> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {X}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket upper O r b left-parenthesis upper A semicolon y right-parenthesis union upper O r b left-parenthesis upper A Superscript negative 1 Baseline semicolon y right-parenthesis right-bracket Superscript minus Baseline equals script upper X period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>Orb</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∪<!-- ∪ --></mml:mo> <mml:mi>Orb</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn>