A comparison of the energy operator and the Hilbert transform approach to signal and speech demodulation

Abstract

The Hilbert transform together with Gabor's analytic signal provides a standard linear integral approach to estimate the amplitude envelope and instantaneous frequency of signals with a combined amplitude modulation (AM) and frequency modulation (FM) structure. A recent alternative approach uses a nonlinear differential ‘energy’ operator to track the energy required to generate an AM-FM signal and separate it into amplitude and frequency components. In this paper, we compare these two fundamentally different approaches for demodulation of arbitrary signals and of speech resonances modeled by AM-Fm signals. The comparison is done from several viewpoints: magnitude of estimation errors, computational complexity, and adaptability to instantaneous signal changes. We also propose a refinement of the energy operator approach that uses simple binomial convolutions to smooth the energy signals. This smoothed energy operator is compared to the Hilbert transform on tracking modulations in speech vowel signals, band-pass filtered around their formants. The effects of pitch periodicity and band-pass filtering on both demodulation approaches are examined and an application to formant tracking is presented. The results provide strong evidence that the estimation errors of the smoothed energy operator approach are similar to that of the Hilbert transform approach for speech applications, but smaller for communication applications. In addition, the smoothed energy operator approach has smaller computational complexity and faster adaptation due to its instantaneous nature. Die Hilberttransformation zusammen mit Gabors analytischem Signal ermöglicht eine lineare Integrallösung zur Schätzung der Amplitudeneinhüllenden und Momentanfrequenz für Signale mit kombinierter Amplitudenmodulation (AM) und Frequenzmodulation (FM). Eine kürzlich vorgeschlagene alternative Lösung benutzt einen nichtlinearen differentiellen ‘Energie’-Operator, um die zur Generation von AM-FM Signalen erforderliche Energie nachzuführen und eine Zerlegung in Amplituden- und Frequenzkomponenten vorzunehmen. In dieser Arbeit vergleichen wir diese beiden grundsätzlich unterschiedlichen Lösungen zur Demodulation von beliebigen Signalen und Sprach-Resonanzen, modelliert durch AM-FM-Signale. Der Vergleich wird unter mehreren Gesichtspunkten durchgeführt. Betrag von Schätzfehlern, Rechenaufwand und Adaption auf momentane Signalveränderungen. Wir schlagen weiterhin eine Verbesserung der Energie-Operator-Lösung vor, die eine einfache binomiale Faltung zur Glättung der Energiesignale benutzt. Dieser geglättete Energie-Operator wird mit der Hilberttransformation bezüglich des Nachführens der Modulation in Sprachsignalen verglichen, die um ihre Formanten herum bandpaβgefiltert sind. Die Effekte der Pitch-Periode und der Bandpaβ-Filterung auf beide Demodulationsverfahren werden untersucht, und es wird eine Anwendung zum Formant-Nachführen wiedergegeben. Die Resultate ergeben, daβ die Schätzfehler beim geglätteten Energie-Operator bei der Anwendung auf Sprachsignale vergleichbar denen des Hilberttransformators sind, aber kleiner bei der Anwendung auf Nachrichtensignale. Weiterhin erfordert der geglättete Energie-Operator einen geringeren Rechenaufwand und ist in der Adaption schneller wegen seiner Momentanwerteigenschaft. La transformation de Hilbert ainsi que le signal analytique de Gabor fournissent une approche intégrale linéaire pour l'estimation de l'enveloppe en amplitude et de la fréquence instantanée de signaux combinant modulation d'amplitude (AM) et modulation de fréquence (FM). Une approche récemment développée consiste à utiliser un opérateur différentiel nonlinéaire ‘d'énergie’ pour poursuivre l'énergie requise pour générer un signal AM-FM et le séparer en ses composantes d'amplitude et de fréquence. Nous comparons dans cet article ces deux approches fondamentalement différentes de démodulation de signaux arbitraires et de résonances de signaux de parole modélisés par des signaux AM-FM. Cette comparaison est faite de différents points de vue: amplitude des erreurs d'estimation, complexité de calcul, et adaptativitéà des changements instantanés des signaux. Nous proposons également un raffinement de l'approche par opérateur d'énergie qui utilise des convolutions binômiales simples pour adoucir les signaux d'énergie. L'opérateur d'énergie adouci est comparé à la transformation de Hilbert sur la poursuite de modulations sur des signaux de parole de type voyelle, filtrés passe-bande autour de leurs formants. Les effets de la périodicité de la fréquence fondamentale et du filtrage passe-bande sur les deux approches de démodulation sont examinés et une application à la poursuite de formants est présentée. Les résultats montrent clairement que les erreurs d'estimation obtenues avec l'approche par opérateur d'énergie adouci sont semblables à celles de l'approche par transformation de Hilbert pour des applications de parole, mais plus petites pour des applications de communications. De plus, l'approche par opérateur d'énergie adouci présente moins de complexité de calcul et une adaptation plus rapide du fait de son caractère instantané.