On trichotomy of positive singular solutions associated with the Hardy–Sobolev operator

Abstract

In this Note, we present a complete classification of singularities of positive solutions of the equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>∖</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:math> , where Ω is a bounded domain of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> , and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:math> . The case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> were treated by Brezis and Véron.