Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: a least-squares approach

Abstract

We addressed, in a previous note [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 779–784], the numerical solution of the Dirichlet problem for the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation, namely: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">det</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> in Ω , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> on ∂ Ω ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , here). The method discussed previously relies on an augmented Lagrangian algorithm operating in the space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and related functional spaces of symmetric tensor-valued functions. In the particular case where the above problem has no solution in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , while the data f and g verify <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>∂</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , there is strong evidence that the augmented Lagrangian algorithm discussed in previously converges-in some sense-to a least squares solution belonging to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mtext> on </mml:mtext> <mml:mo>∂</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:math> . Our goal in this note is to discuss a least-squares based alternative solution method for the Monge–Ampère Dirichlet problem. This method relies on the minimization on the set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> (with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mo>∀</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mi mathvariant="bold">q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold">q</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msup> <mml:mtext>,</mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">det</mml:mi> <mml:mi mathvariant="bold">q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:math> ) of a well-chos