Sp(2)-covers for self-contragredient supercuspidal representations of GL()

Abstract

Let F be a non-archimedean local field of odd residual characteristic. Let (J,τ) be a maximal simple type in GLN(F) for the inertial class [GLN(F),π]GLN(F) of a self-contragredient supercuspidal irreducible representation π of GLN(F). Identify GLN(F) to the standard Siegel Levi subgroup in Sp2N(F). We construct, in Sp2N(F), a type for the inertial class [GLN(F),π]Sp2N(F), as a Sp2N(F)-cover of (J,τ), strongly related to the GL2N(F)-cover of (J×J,τ⊗τ) in GL2N(F) constructed by Bushnell and Kutzko and which induces to a simple type in GL2N(F). In the process, we show that if τ has positive level, then the maximal simple type (J,τ) may be attached to a simple stratum [A,n,0,β] where the field F[β] is a quadratic extension of F[β2], and to a simple character θ in C(A,0,β) Galois conjugate of its inverse. Soit F un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle impaire. Soit (J,τ) un type simple maximal dans GLN(F) pour la classe d'inertie [GLN(F),π]GLN(F) d'une représentation irréductible supercuspidale autoduale π de GLN(F). Identifions GLN(F) au sous-groupe de Levi de Siegel standard de Sp2N(F). Nous construisons, dans Sp2N(F), un type pour la classe d'inertie [GLN(F),π]Sp2N(F), sous forme d'une paire couvrante de (J,τ) fortement reliée à la paire couvrante de (J×J,τ⊗τ) dans GL2N(F) construite par Bushnell et Kutzko et qui s'induit en un type simple de GL2N(F). En cours de route nous montrons que si τ est de niveau strictement positif, le type simple maximal (J,τ) peut être attaché à une strate simple [A,n,0,β] telle que le corps F[β] soit extension quadratique de F[β2] et à un caractère simple θ de C(A,0,β) égal au conjugué de son inverse par l'élément de Galois correspondant.