On the interpretation of Whitney numbers through arrangements of hyperplanes, zonotopes, non-Radon partitions, and orientations of graphs

Abstract

The doubly indexed Whitney numbers of a finite, ranked partially ordered set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are (the first kind) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript i j Baseline equals sigma-summation left-brace mu left-parenthesis x Superscript i Baseline comma x Superscript j Baseline right-parenthesis colon x Superscript i Baseline comma x Superscript j Baseline element-of upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{w_{ij}} = \sum {\{ \mu ({x^i},{x^j}):{x^i},{x^j} \in L}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with ranks <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i comma j right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i,j\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and (the second kind) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Subscript i j Baseline equals"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{W_{ij}} =</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the number of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x Superscript i Baseline comma x Superscript j Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({x^i},{x^j})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Superscript i Baseline less-than-or-slanted-equals x Superscript j"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{x^i} \leqslant {x^j}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> element, the ordinary (simply indexed) Whitney numbers are <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="w Subscript j Baseline equals w Subscript 0 j"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{w_j} = {w_{0j}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Subscript j Baseline equals upper W Subscript 0 j Baseline equals upper W Subscript j j"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{W_j} = {W_{0j}} = {W_{jj}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Building on work of Stanley and Zaslavsky we show how to interpret the magnitudes of Whitney numbers of geometric lattices and semilattices arising in geometry and graph theory. For example: The number of regions, or of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-dimensional faces for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, of an arrangement of hyperplanes in real projective or affine space, that do not meet an arbitrary hyperplane in general position. The number of vertices of a zonotope <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> inside the visible boundary as seen from a distant point on a generating line of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The number of non-Radon partitions of a Euclidean point set not due to a separating hyperplane through a fixed point. The number of acyclic orientations of a graph (Stanley’s theorem, with a new, geometrical proof); the number with a fixed unique source; the number whose set of increasing arcs (in a fixed ordering of the vertices) has exactly <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> sources (generalizing Rényi’s enumeration of permutations with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> "outstanding" elements). The number of t