Wide-band ambiguity functions and affine Wigner distributions

Abstract

A symmetric wideband ambiguity function is proposed, by recognizing the relationship between ambiguity functions and the theory of group representations. By slightly modifying the 2D Fourier transform of the symmetric wideband ambiguity function, we recover the affine Wigner distribution, a Mellin-frequency/time-scale phase space function with properties that parallel those of the Wigner distribution. The affine Wigner distribution was first proposed by the Bertrands: they defined a class of time-frequency distributions satisfying covariance with respect to time-shifts and dilations, and singled out this function by imposing certain axiomatic requirements, just as the usual Wigner distribution uniquely satisfies certain axioms among the class of time-frequency distributions that are covariant with respect to time-shifts and frequency-shifts. Our derivation, which is different, is based on recognizing that the duality between the narrowband ambiguity function and the usual Wigner distribution is an example of a general framework that has been studied in the subject of Fourier analysis on groups. Our description of this group-theoretic framework is new in the signal processing literature. The classical Fourier and Mellin transforms, Wigner distribution, and affine Wigner distribution result from applications of this theory to different groups, and it therefore provides a unifying perspective. Vorgeschlagen wird eine symmetrische Breitband-Ambiguity-Funktion, wobei von der Beziehung zwischen Ambiguity-Funktionen und der Theorie der Gruppendarstellungen ausgegangen wird. Durch eine geringfügige Modifikation der zweidimensionalen Fourier-Transformation der symmetrischen Breitband-Ambiguity-Funktion finden wir die affine Wigner-Distribution, eine Mellin-Frequenz-/Zeitskalen-/Phasenraum-Funktion mit Eigenschaften, die Parallelen zu denen der Wignerverteilung aufweist. Die affine Wigner-distribution wurde zuerst von den Bertrands vorgeschlagen: Sie definierten eine Klassse von Zeit-/Frequenz-Verteilungen, welche Kovarianzbedingungen einhalten bezüglich Zeitverschiebungen und Dilatationen. Sie schälten diese spezielle Funktion heraus, indem sie bestimmte axiomatische Anforderungen aufstellten, so, wie auch die normale Wignerverteilung bestimmten Axiomen innerhalb der Klasse der Zeit-/Frequenz-Verteilungen mit Kovarianzbeziehungen bezüglich Zeit- und Frequenzverschiebungen in einzigartiger Weise gehorcht. Unsere Herleitung folgt einem anderen Weg. Sie beruht auf der Erkenntnis, daβ die Dualität der Schmallband-Ambiguity-Funktion und der gewöhnlichen Wignerverteilung nur ein Beispiel eines allgemeinen Zusammenhangs ist, welcher im Bereich der Fourieranalyse von Gruppen untersucht worden ist. Unsere Beschriebung dieser gruppentheoretischen Gesamtschau ist neuartig in der Signalverarbeitungs-Literatur. Die klassischen Fourier- und Meilin-Transformationen, die Wignerverteilung und die affine Wigner-Distribution erhält man aus der Anwendung dieser Theorie auf verschiedene Gruppen. Die Theorie liefert damit eine vereinheitlichte Perspektive. Nous proposons une fonction d'ambiguïté large-bande symétrique, basée sur la relation existant entre les fonctions d'ambiguïté et la théorie des représentations de groupe. En modifiant légèrement la transformation de Fourier 2D de la fonction d'ambiguïté large-bande symétrique, nous recouvrons la distribution de Wigner affine, une fonction de l'espace de phase de type fréquence-Mellin/temps-échelle dont les propriétés sont parallèlles à celles de la distribution de Wigner. La distribution de Wigner affine fut tout d'abord proposée par les Bertrands: ils définirent une classe de distributions temps-fréquence satisfaisant les propriétés de covariance vis-á-vis des décalages temporels et des dilatations, et isolérent cette fonction en imposant certaines exigences axiomatiques, de même que la distribution de Wigner usuelle satisfait certains axiomes de manière unique dans la classe des distributions temps-fréquence qui sont covariantes vis-á-vis des décalages temporels et fréquentiels. Notre dérivation, qui est différente, s'appuie sur la reconnaissance du fait que la dualité entre la fonction d'ambiguïté bande-étroite et la distribution de Wigner usuelle est un exemple d'un concept général qui a été, étudié dans le cadre de l'analyse de Fourier sur les groupes. Notre description de ce contexte de théorie des groupes est nouvelle dans la littérature sur le traitement des signaux. Les transformations classiques de Fourier et de Mellin, la distribution de Wigner, et la distribution de Wigner affine résultent d'applications de cette théorie à différents groupes, et elle donne de ce fait une perspective unificatrice.