Increasing digit subsystems of infinite iterated function systems

Abstract

We consider an infinite iterated function system <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace f Subscript i Baseline right-brace Subscript i equals 1 Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{f_i\}_{i=1}^{\infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket 0 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[0,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with a polynomially increasing contraction rate. We look at subsets of such systems where we only allow iterates <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f Subscript i 1 Baseline ring f Subscript i 2 Baseline ring f Subscript i 3 Baseline ring midline-horizontal-ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∘ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∘ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∘ </mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f_{i_1}\circ f_{i_2}\circ f_{i_3}\circ \cdots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i Subscript n Baseline greater-than normal upper Phi left-parenthesis i Subscript n minus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i_n&gt;\Phi (i_{n-1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for certain increasing functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Phi colon double-struck upper N right-arrow double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Φ </mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Phi :\mathbb N\rightarrow \mathbb N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We compute both the Hausdorff and packing dimensions of such sets. Our results generalise work of Ramharter which shows that the set of continued fractions with strictly increasing digits has Hausdorff dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="one half"> <mml:semantics> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1}{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .