On left derivations and related mappings

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a ring and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a left <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -module. The purpose of this paper is to investigate additive mappings <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D 1 colon upper R right-arrow upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{D_1}:R \to X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D 2 colon upper R right-arrow upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{D_2}:R \to X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that satisfy <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D 1 left-parenthesis a b right-parenthesis equals a upper D 1 left-parenthesis b right-parenthesis plus b upper D 1 left-parenthesis a right-parenthesis comma a comma b element-of upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{D_1}(ab) = a{D_1}(b) + b{D_1}(a),a,b \in R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (left derivation) and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D 2 left-parenthesis a squared right-parenthesis equals 2 a upper D 2 left-parenthesis a right-parenthesis comma a element-of upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{D_2}({a^2}) = 2a{D_2}(a),a \in R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (Jordan left derivation). We show, by the rather weak assumptions, that the existence of a nonzero Jordan left derivation of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> implies <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="htt