Realizability and nonrealizability of Dickson algebras as cohomology rings

Abstract

Fix a prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -dimensional vector space over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Z slash p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {Z}}/p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The general linear group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="GL left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>GL(</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>)</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\text {GL(}}V{\text {)}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> acts on the polynomial ring <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P(V)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The ring of invariants <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P left-parenthesis upper V right-parenthesis Superscript GL left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>GL</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P{(V)^{{\text {GL}}(V)}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has been computed by Dickson, and we denote it by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Superscript asterisk Baseline left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{D^*}(n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . If we grade <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P left-parenthesis upper V right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P(V)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by assigning the elements of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the degree 2, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Superscript asterisk Baseline left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>