Second order ergodic theorems for ergodic transformations of infinite measure spaces

Abstract

For certain pointwise dual ergodic transformations <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we prove almost sure convergence of the log-averages <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction 1 Over log upper N EndFraction sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript upper N Endscripts StartFraction 1 Over n a left-parenthesis n right-parenthesis EndFraction sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts f ring upper T Superscript k Baseline left-parenthesis f element-of upper L 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∘<!-- ∘ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1}{{\log N}}\sum \limits _{n = 1}^N {\frac {1}{{na\left ( n \right )}}\sum \limits _{k = 1}^n {f \circ {T^k}\left ( {f \in {L_1}} \right )} }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> and the Chung-Erdös averages <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction 1 Over log a left-parenthesis upper N right-parenthesis EndFraction sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript upper N Endscripts StartFraction 1 Over a left-parenthesis k right-parenthesis EndFraction f ring upper T Superscript k left-parenthesis f element-of upper L 1 Superscript plus Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∘<!-- ∘ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1}{{\log a\left ( N \right )}}\sum \limits _{k = 1}^N {\frac {1}{{a\left ( k \right )}}f \circ {T^k}} \left ( {f \in L_1^ + } \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> towards <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="integral f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo largeop="false">∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\smallint f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a\left ( n \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the return sequence of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.