Presentations for 3-dimensional special linear groups over integer rings

Abstract

The following <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-generator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="6"> <mml:semantics> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-relator presentation is obtained for the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-dimensional special linear group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper L left-parenthesis 3 comma double-struck upper Z Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>SL</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {SL}(3,{\mathbb {Z}_k})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for each odd integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k &gt; 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper L left-parenthesis 3 comma double-struck upper Z Subscript k Baseline right-parenthesis equals mathematical left-angle x comma y vertical-bar x cubed equals y cubed equals left-parenthesis x y right-parenthesis Superscript 6 Baseline equals left-parenthesis x Superscript negative 1 Baseline y x Superscript negative 1 Baseline y Superscript negative 1 Baseline x y right-parenthesis squared equals left-parenthesis x y Superscript negative 1 Baseline x y x y Superscript negative 1 Baseline x Superscript negative 1 Baseline y Superscript negative 1 Baseline right-parenthesis Superscript k Baseline equals left-parenthesis left-parenthesis x y Superscript negative 1 Baseline x y x y Superscript negative 1 Baseline x Superscript negative 1 Baseline y Superscript negative 1 Baseline right-parenthesis Superscript left-parenthesis k minus 1 right-parenthesis slash 2 Baseline x y right-parenthesis Superscript 4 Baseline equals 1 mathematical right-angle period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>SL</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨<!-- ⟨ --></mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩<!-- ⟩ --></mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {SL}(3,{\mathbb {Z}_k}) = \langle x,y|{x^3} = {y^3} = {(xy)^6} = {({x^{ - 1}}y{x^{ - 1}}{y^{ - 1}}xy)^2} = {(x{y^{ - 1}}xyx{y^{ - 1}}{x^{ - 1}}{y^{ - 1}})^k} = {({(x{y^{ - 1}}xyx{y^{ - 1}}{x^{ - 1}}{y^{ - 1}})^{(k - 1)/