The Brezis-Nirenberg result for the fractional Laplacian

Abstract

The aim of this paper is to deal with the non-local fractional counterpart of the Laplace equation involving critical non-linearities studied in the famous paper of Brezis and Nirenberg (1983). Namely, our model is the equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript s Baseline u minus lamda u equals StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript 2 Super Superscript asterisk Superscript minus 2 Baseline u 2nd Column a m p semicolon in normal upper Omega comma 2nd Row 1st Column u equals 0 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R Superscript n Baseline minus normal upper Omega comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext> in </mml:mtext> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext> in </mml:mtext> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo class="MJX-variant">∖</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ \begin {array}{ll} (-\Delta )^s u-\lambda u=|u|^{2^*-2}u &amp; {\mbox { in }} \Omega ,\\ u=0 &amp; {\mbox { in }} \mathbb {R}^n\setminus \Omega \,, \end {array} \right .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(-\Delta )^s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the fractional Laplace operator, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\in (0,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an open bounded set of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than 2 s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n&gt;2s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, with Lipschitz boundary, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a real parameter and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 Superscript asterisk Baseline equals 2 n slash left-parenthesis n minus 2 s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2^*=2n/(n-2s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a fractional critical Sobolev exponent. In this paper we first study the problem in a general framework; indeed we consider the equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column script upper L Subscript upper K Baseline u plus lamda u plus StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript 2 Super Superscript asterisk Superscript minus 2 Baseline u plus f left-parenthesis x comma u right-parenthesis equals 0 2nd Column a m p semicolon in normal upper Omega comma 2nd Row 1st Column u equals 0 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R Superscript n Baseline minus normal upper Omega comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptl