Classification of rank-2 ample and spanned vector bundles on surfaces whose zero loci consist of general points

Abstract

Let <italic>X</italic> be an <italic>n</italic> -dimensional smooth projective variety over an algebraically closed field <italic>k</italic> of characteristic zero, and <italic>E</italic> an ample and spanned vector bundle of rank <italic>n</italic> on <italic>X</italic> . To study the geometry of ( <italic>X</italic> , <italic>E</italic> ) in view of the zero loci of global sections of <italic>E</italic> , Ballico introduces a numerical invariant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s left-parenthesis upper E right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s(E)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The purposes of this paper are to give a cohomological interpretation of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s left-parenthesis upper E right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s(E)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and to classify ample and spanned rank-2 bundles <italic>E</italic> on smooth complex surfaces <italic>X</italic> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s left-parenthesis upper E right-parenthesis equals 2 c 2 left-parenthesis upper E right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s(E) = 2{c_2}(E)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 c 2 left-parenthesis upper E right-parenthesis minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2{c_2}(E) - 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ; namely ample and spanned 2-bundles whose zero loci of global sections consist of general <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c 2 left-parenthesis upper E right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{c_2}(E)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> points or general <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c 2 left-parenthesis upper E right-parenthesis minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{c_2}(E) - 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> points plus one. As an application of these classification, we classify rank-2 ample and spanned vector bundles <italic>E</italic> on smooth complex projective surfaces with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c 2 left-parenthesis upper E right-parenthesis equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{c_2}(E) = 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .