On going-down for simple overrings. III

Abstract

Theorem 1. <italic>Let</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>be an integral domain with quotient field</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. <italic>The following three conditions are equivalent</italic>: (a) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R subset-of upper R left-bracket u right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R \subset R[u]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>satisfies going-down</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper G upper D right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(GD)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>for each</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>in</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (b) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R subset-of upper V"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R \subset V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>satisfies</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GD</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>for each valuation overring</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>of</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (c) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R subset-of upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R \subset S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>satisfies</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GD</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>for each domain</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>containing</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If (d) is the condition obtained by restricting the domains <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis c right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>c)</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({\text {c)}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to be overrings of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis a right-parenthesis left right double arrow left-parenthesis d right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>a)</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">⇔</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>(d)</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({\text {a)}} \Leftrightarrow {\text {(d)}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has been proved in case <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is Krull or integrally closed finite-conductor (e.g., pseudo-Bézout) or Noetherian. Theorem 2. <italic>Let</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R subset-of upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R \subset T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>be domains such that either</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S p e c left-parenthesis upper R right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Spec</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Spec} (R)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>or</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S p e c left-parenthesis upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Spec</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Spec} (T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <italic>as a poset under inclusion, is a tree. If</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R subset-of upper R left-bracket u comma v right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R \subset R[u,v]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>satisfies</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GD</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>for each</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:sema