Nonnegative solutions for a class of radially symmetric nonpositone problems

Abstract

We consider the existence of radially symmetric non-negative solutions for the boundary value problem <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row minus normal upper Delta u left-parenthesis x right-parenthesis equals lamda f left-parenthesis u left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis double-vertical-bar x double-vertical-bar less-than-or-equal-to 1 comma x element-of upper R Superscript upper N Baseline left-parenthesis upper N greater-than-or-equal-to 2 right-parenthesis 2nd Row u left-parenthesis x right-parenthesis equals 0 double-vertical-bar x double-vertical-bar equals 1 EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {array}{*{20}{c}} { - \Delta u(x) = \lambda f(u(x))\quad \left \| x \right \| \leq 1,x \in {R^N}(N \geq 2)} \\ {u(x) = 0\quad \left \| x \right \| = 1} \\ \end {array}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda greater-than 0 comma f left-parenthesis 0 right-parenthesis greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda &gt; 0,f(0) &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (non-positone), <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f prime greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f’ \geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is superlinear. We establish existence of non-negative solutions for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> small which extends some work of our previous paper on non-positone problems, where we considered the case <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Our work also proves a recent conjecture by Joel Smoller and Arthur Wasserman.