Gevrey class semigroups arising from elastic systems with gentle dissipation: the case 0<𝛼<\frac12

Abstract

Let<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"><mml:semantics><mml:mi>A</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>(the elastic operator) be a positive, self-adjoint operator with domain<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper D left-parenthesis upper A right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {D}(A)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in the Hilbert space<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"><mml:semantics><mml:mi>X</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, and let<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"><mml:semantics><mml:mi>B</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>(the dissipation operator) be another positive, self-adjoint operator satisfying<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho 1 upper A Superscript alpha Baseline less-than-or-equal-to upper B less-than-or-equal-to rho 2 upper A Superscript alpha"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\rho _1}{A^\alpha } \leq B \leq {\rho _2}{A^\alpha }</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>for some constants<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than rho 1 greater-than rho 2 greater-than normal infinity"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; {\rho _1} &gt; {\rho _2} &gt; \infty</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>and<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than alpha less-than-or-equal-to 1"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; \alpha \leq 1</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. Consider the operator<disp-formula content-type="math/mathml">\[<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A Subscript upper B Baseline equals Start 2 By 2 Determinant 1st Row 1st Column 0 2nd Column a m p semicolon upper I 2nd Row 1st Column negative upper A 2nd Column a m p semicolon negative upper B EndDeterminant"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal {A}_B} = \left | {\begin {array}{*{20}{c}} 0 &amp; I \\ { - A} &amp; { - B} \\ \end {array} } \right |</mml:annotation></mml:semantics></mml:math>\]</disp-formula>(corresponding to the elastic model<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove x With two-dots plus upper B ModifyingAbove x With dot plus upper A x equals 0"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\ddot x + B\dot x + Ax = 0</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>written as a first order system), which (once closed) is plainly the generator of a strongly continuous semigroup of contractions on the space<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E equals script upper D left-parenthesis upper A Superscript 1 slash 2 Baseline right-parenthesis times upper X"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">E = \mathcal {D}({A^{1/2}}) \times X</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. In [C-T.l] [C-T.3] we showed that, for<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="one half less-than-or-equal-to alpha less-than-or-equal-to 1"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\tfrac {1}{2} \leq \alpha \leq 1</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, such a semigroup is analytic (holomorphic) on<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"><mml:semantics><mml:mi>E</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>on a triangular sector of<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper C"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {C}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>containing the positive real axis and, moreover, that the property of analyticity is false for<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than alpha greater-than one half"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">0 &gt; \alpha &gt; \tfrac {1}{2}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, say for<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B equals upper A Superscript alpha"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msup><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">B = {A^\alpha }</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. We now complete the description of<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A Subscript upper B"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal {A}_B}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in the range<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than alpha greater-than one half"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mrow><mml:ann