Another generalization of Anderson’s theorem

Abstract

In this paper, we prove that if <italic>A</italic> and <italic>B</italic> are normal operators on a Hilbert space <italic>H</italic> , then, for every operator <italic>S</italic> satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A upper S upper B equals upper S comma double-vertical-bar upper A upper X upper B minus upper X plus upper S double-vertical-bar greater-than-or-equal-to double-vertical-bar upper A double-vertical-bar Superscript negative 1 Baseline double-vertical-bar upper B double-vertical-bar Superscript negative 1 Baseline double-vertical-bar upper S double-vertical-bar"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ASB = S, \left \| {AXB - X + S} \right \| \geq {\left \| A \right \|^{ - 1}}{\left \| B \right \|^{ - 1}}\left \| S \right \|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X element-of upper B left-parenthesis upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X \in B(H)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and that if <italic>A</italic> and <italic>B</italic> are contractions, then, for every operator <italic>S</italic> satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A upper S upper B equals upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ASB = S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript asterisk Baseline upper S upper B Superscript asterisk Baseline equals upper S comma double-vertical-bar upper A upper X upper B minus upper X plus upper S double-vertical-bar greater-than-or-equal-to double-vertical-bar upper S double-vertical-bar"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A^ \ast }S{B^ \ast } = S,\left \| {AXB - X + S} \right \| \geq \left \| S \right \|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X element-of upper B left-parenthesis upper H right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo s