Weakly almost periodic and uniformly continuous functionals on the Fourier algebra of any locally compact group

Abstract

We define for any locally compact group <italic>G</italic> , the space of bounded uniformly continuous functionals on <italic>Ĝ</italic> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U upper C upper B left-parenthesis ModifyingAbove upper G With caret right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ^ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">UCB(\hat G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , in the context of P. Eymard [Bull. Soc. Math. France <bold>92</bold> (1964), 181-236. MR <bold>37</bold> #4208] (for notations see next section). For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u element-of upper A left-parenthesis upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u \in A(G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Superscript up-tack Baseline equals left-brace phi element-of upper V upper N left-parenthesis upper G right-parenthesis semicolon phi left-bracket upper A left-parenthesis upper G right-parenthesis u right-bracket equals 0 right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ⊥ </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi> ϕ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi> ϕ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{u^ \bot } = \{ \phi \in VN(G);\phi [A(G)u] = 0\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . <bold>Theorem</bold> . <italic>If for some norm separable subspace</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X subset-of upper V upper N left-parenthesis upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X \subset VN(G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>and some positive definite</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 not-equals u element-of upper A left-parenthesis upper G right-parenthesis comma upper U upper C upper B left-parenthesis ModifyingAbove upper G With caret right-parenthesis subset-of"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo> ≠ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ^ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \ne u \in A(G),UCB(\hat G) \subset</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>norm closure</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket upper W left-parenthesis ModifyingAbove upper G With caret right-parenthesis plus upper X plus u Superscript up-tack Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ^ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">