The nonlinear ergodic theorem for asymptotically nonexpansive mappings in Banach spaces

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a uniformly convex Banach space with a Frechet differentiable norm, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a bounded closed convex subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T colon upper C right-arrow upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T:C \to C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> an asymptotically nonexpansive mapping. It is shown that for each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace upper T Superscript n Baseline x right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ {T^n}x\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is weakly almost-convergent to a fixed point <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y"> <mml:semantics> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, i.e., <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 1 slash n right-parenthesis sigma-summation Underscript i equals 0 Overscript n minus 1 Endscripts upper T Superscript k plus i Baseline x right-arrow y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(1/n)\sum \nolimits _{i = 0}^{n - 1} {{T^{k + i}}x \to y}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> weakly as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> tends to infinity uniformly in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k equals 0 comma 1 comma 2 comma ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k = 0,1,2, \ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>