A finite element collocation method for quasilinear parabolic equations

Abstract

Let the parabolic problem <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c left-parenthesis x comma t comma u right-parenthesis u Subscript t Baseline equals a left-parenthesis x comma t comma u right-parenthesis u Subscript x x Baseline plus b left-parenthesis x comma t comma u comma u Subscript x Baseline right-parenthesis comma 0 greater-than x greater-than 1 comma 0 greater-than t less-than-over-equals upper T comma u left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals f left-parenthesis x right-parenthesis comma u left-parenthesis 0 comma t right-parenthesis equals g 0 left-parenthesis t right-parenthesis comma u left-parenthesis 1 comma t right-parenthesis equals g 1 left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≦<!-- ≦ --></mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c(x,t,u){u_t} = a(x,t,u){u_{xx}} + b(x,t,u,{u_x}),0 &gt; x &gt; 1,0 &gt; t \leqq T,u(x,0) = f(x),u(0,t) = {g_0}(t),u(1,t) = {g_1}(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, be solved approximately by the continuous-time collocation process based on having the differential equation satisfied at Gaussian points <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi Subscript i comma 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\xi _{i,1}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi Subscript i comma 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ξ<!-- ξ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\xi _{i,2}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in subintervals <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x Subscript i minus 1 Baseline comma x Subscript i Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({x_{i - 1}},{x_i})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for a function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper U colon left-bracket 0 comma upper T right-bracket right-arrow script upper H 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">U:[0,T] \to {\mathcal {H}_3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the class of Hermite piecewise-cubic polynomial functions with knots <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 equals x 0 greater-than x 1 greater-than midline-horizontal-ellipsis greater-than x Subscript n Baseline equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 = {x_0} &gt; {x_1} &gt; \cdots &gt; {x_n} = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It is shown that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u minus upper U equals upper O left-parenthesis h Superscript 4 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u - U = O({h^4})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> uniformly in <italic>x</italic> and <italic>t</italic>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h equals max left-parenthesis x Subscript i Baseline minus x Subscript i minus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">max</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mm