Visible evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for modular abelian varieties of analytic rank zero

Abstract

This paper provides evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for analytic rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> abelian varieties <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript f"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that are optimal quotients of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J 0 left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J_0(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> attached to newforms. We prove theorems about the ratio <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L left-parenthesis upper A Subscript f Baseline comma 1 right-parenthesis slash normal upper Omega Subscript upper A Sub Subscript f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L(A_f,1)/\Omega _{A_f}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , develop tools for computing with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript f"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and gather data about certain arithmetic invariants of the nearly <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="20 comma 000"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>20</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>000</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">20,000</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> abelian varieties <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript f"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of level <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="less-than-or-equal-to 2333"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>2333</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\leq 2333</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Over half of these <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript f"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> have analytic rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and for these we compute upper and lower bounds on the conjectural order of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Ш left-parenthesis upper A Subscript f Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>Ш</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Sha (A_f)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We find that there are at least <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="168"> <mml:semantics> <mml:mn>168</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">168</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript f"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math>