Noether’s problem and ℚ-generic polynomials for the normalizer of the 8-cycle in 𝕊₈ and its subgroups

Abstract

We study Noether’s problem for various subgroups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the normalizer of a group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper C 8"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {C}_8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> generated by an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="8"> <mml:semantics> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -cycle in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S 8"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , the symmetric group of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="8"> <mml:semantics> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , in three aspects according to the way they act on rational function fields, i.e., <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Q left-parenthesis upper X 0 comma ellipsis comma upper X 7 right-parenthesis comma double-struck upper Q left-parenthesis x 1 comma ellipsis comma x 4 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Q}(X_0,\ldots ,X_7),\, \mathbb {Q}(x_1,\ldots ,x_4)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Q left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Q}(x,y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove that it has affirmative answers for those <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> containing <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper C 8"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {C}_8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> properly and derive a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Q"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -generic polynomial with four parameters for each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . On the other hand, it is known in connection to the negative answer to the same problem for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper C 8 slash double-struck upper Q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo>