Some probability density functions and their characteristic functions

Abstract

This paper presents, without derivation, several generalized density functions together with their characteristic functions. The densities are expressed variously in terms of special functions such as: <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript v Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{I_v}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the modified Bessel function of the first kind of order <italic>v</italic>; <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript v Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_v}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the modified Bessel function of the second kind of order <italic>v</italic>; <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Subscript 1 Baseline upper F 1 left-parenthesis a semicolon b semicolon x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi /> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">_1{F_1}(a;b;x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the confluent hypergeometric function; <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Subscript 2 Baseline upper F 1 left-parenthesis a comma b semicolon c semicolon x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi /> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">_2{F_1}(a,b;c;x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the hypergeometric function; <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Subscript a comma b Baseline left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{W_{a,b}}(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, Whittaker’s function; <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Phi 3 left-parenthesis beta semicolon gamma semicolon b x comma c x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Φ<!-- Φ --></mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Phi _3}(\beta ;\gamma ;bx,cx)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, a generalized hypergeometric function (type I); <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Phi 2 left-parenthesis b comma c comma d semicolon gamma semicolon lamda x comma tau x comma beta x right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Φ<!-- Φ --></mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>τ<!-- τ --></mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Phi _2}(b,c,d;\gamma ;\lambda x,\tau x,\beta x),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> a generalized hypergeometric function (type II); and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi Subscript lamda Superscript mu Baseline left-parenthesis b v Superscript mu Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi _\lambda ^\mu (b{v^\mu })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, a generalized Bessel type function. The first five cases are summarized from the work of Laha [7], Pearson [25] and Raj [26] while Cases 13 through 19 have not previously appeared in the literature of statistics or Fourier transforms. In what follows, the usual notation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for a density function, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi (t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for a characteristic function, will be used with all parameters considered as real quantities: <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis t right-parenthesis equals integral Subscript negative normal infinity Superscript normal infinity Baseline exp left-parenthesis i t x right-parenthesis f left-parenthesis x right-parenthesis d x period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="