Existence and bounds of positive solutions for a nonlinear Schrödinger system

Abstract

We prove that, for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda \in \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , the system <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus normal upper Delta u plus lamda u equals u cubed minus beta u v squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">-\Delta u +\lambda u = u^3-\beta uv^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus normal upper Delta v plus lamda v equals v cubed minus beta v u squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">-\Delta v+\lambda v =v^3-\beta vu^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u comma v element-of upper H 0 Superscript 1 Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u,v\in H^1_0(\Omega ),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a bounded smooth domain of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , admits a bounded family of positive solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis u Subscript beta Baseline comma v Subscript beta Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(u_{\beta }, v_{\beta })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta right-arrow plus normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi m