A lower bound for the equilateral number of normed spaces

Abstract

We show that if the Banach-Mazur distance between an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -dimensional normed space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l Subscript normal infinity Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell _\infty ^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then there exist <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> equidistant points in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . By a well-known result of Alon and Milman, this implies that an arbitrary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -dimensional normed space admits at least <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e Superscript c StartRoot log n EndRoot"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:msqrt> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e^{c\sqrt {\log n}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> equidistant points, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an absolute constant. We also show that there exist <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> equidistant points in spaces sufficiently close to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l Subscript p Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell _p^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1&gt;p&gt;\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .