Journal of Inequalities and Applications · 2011 · 23 citations · 13 references
Natural SciencesMathematicsComputational MechanicsDifferential EquationsDynamical SystemsNumerical StabilityPartial Differential EquationsStability TheoryContraction PrincipleG-functionNonlinear Differential-algebraic EquationsNonlinear Partial Differential EquationsNonlinear StabilitySecond-order Differential EquationsStability Of Functional Differential EquationsStability Of Partial Differential Equations
Abstract We say that a functional equation ( ξ ) is stable if any function g satisfying the functional equation ( ξ ) approximately is near to a true solution of ( ξ ). In this paper, by using Banach's contraction principle, we prove the stability of nonlinear partial differential equations of the following forms: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:m
13