Constructible sheaves and the Fukaya category

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a compact real analytic manifold, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Superscript asterisk Baseline upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T^*X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be its cotangent bundle. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S h left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Sh(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the triangulated dg category of bounded, constructible complexes of sheaves on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In this paper, we develop a Fukaya <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -category <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F u k left-parenthesis upper T Superscript asterisk Baseline upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Fuk(T^*X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whose objects are exact, not necessarily compact Lagrangian branes in the cotangent bundle. We write <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T w upper F u k left-parenthesis upper T Superscript asterisk Baseline upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Tw Fuk(T^*X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -triangulated envelope of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F u k left-parenthesis upper T Superscript asterisk Baseline upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Fuk(T^*X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> consisting of twisted complexes of Lagrangian branes. Our main result is that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S h left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Sh(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> quasi-embeds into <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T w upper F u k left-parenthesis upper T Superscript asterisk Baseline upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi>