Geometry of Sobolev spaces with variable exponent: smoothness and uniform convexity

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , be a smooth bounded domain. It is shown that: (a) if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>∞</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">ess</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">inf</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , then the generalized Lebesgue space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> is smooth; (b) if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , then the generalized Sobolev space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> is smooth. In both situations, the formulae giving the Gâteaux derivative of the norm, corresponding to each of the above spaces, are given; (c) if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mover accent="true"> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , then <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> is uniformly convex and smooth.