Multipliers and integration operators on Dirichlet spaces

Abstract

For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than p greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0&gt;p&gt;\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha greater-than negative 1 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha &gt;-1,\,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper D Subscript alpha Superscript p"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal D^p_{\alpha }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the space of those functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which are analytic in the unit disc <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {D}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and satisfy <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="integral Underscript double-struck upper D Endscripts left-parenthesis 1 minus StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue squared right-parenthesis Superscript alpha Baseline StartAbsoluteValue f prime left-parenthesis z right-parenthesis EndAbsoluteValue Superscript p Baseline d x d y greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\int _{\mathbb {D}}(1-\vert z\vert ^ 2)^ {\alpha }\vert f’(z)\vert ^ p\, dx\, dy &gt;\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Of special interest are the spaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper D Subscript p minus 1 Superscript p"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal D^p_{p-1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ( <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than p greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml