Codimension 1 orbits and semi-invariants for the representations of an equioriented graph of type 𝐷_{𝑛}

Abstract

We consider the Dynkin diagram <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{D_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> equioriented and the variety <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H o m left-parenthesis upper V 1 comma upper V 3 right-parenthesis times normal upper Pi Subscript 1 equals 2 Superscript n Baseline upper H o m left-parenthesis upper V Subscript i Baseline comma upper V Subscript i plus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Hom</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">Π<!-- Π --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>Hom</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Hom}({V_1},{V_3}) \times \Pi _{1 = 2}^n \operatorname {Hom} ({V_i},{V_{i + 1}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V Subscript j"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{V_j}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a vector space over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, on which the group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G equals product Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts GL left-parenthesis upper V Subscript i Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits="false">∏<!-- ∏ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>GL</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G = \prod \nolimits _{i = 1}^n {{\text {GL}}} ({V_i})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> acts. We determine the maximal orbit and the codim. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> orbits of this action, giving their decomposition in terms of the irreducible representations of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{D_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We also deduce a set of algebraically independent semi-invariant polynomials which generate the ring of semi-invariants.