Rates of convergence of Gaussian quadrature for singular integrands

Abstract

The authors obtain the rates of convergence (or divergence) of Gaussian quadrature on functions with an algebraic or logarithmic singularity inside, or at an endpoint of, the interval of integration. A typical result is the following: For a bounded smooth weight function on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket negative 1 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[ - 1,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the error in <italic>n</italic>-point Gaussian quadrature of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis x right-parenthesis equals StartAbsoluteValue x minus y EndAbsoluteValue Superscript negative delta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(x) = |x - y{|^{ - \delta }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis n Superscript negative 2 plus 2 delta Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O({n^{ - 2 + 2\delta }})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y equals plus-or-minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>±<!-- ± --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y = \pm 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis n Superscript negative 1 plus delta Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O({n^{ - 1 + \delta }})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y element-of left-parenthesis negative 1 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y \in ( - 1,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, provided we avoid the singularity. If we ignore the singularity <italic>y</italic>, the error is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O left-parenthesis n Superscript negative 1 plus 2 delta Baseline left-parenthesis log n right-parenthesis Superscript delta Baseline left-parenthesis log log n right-parenthesis Superscript delta left-parenthesis 1 plus epsilon right-parenthesis Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">O({n^{ - 1 + 2\delta }}{(\log n)^\delta }{(\log \log n)^{\delta (1 + \varepsilon )}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for almost all choices of <italic>y</italic>. These assertions are sharp with respect to order.