Qualitative properties of positive solutions of semilinear elliptic equations in symmetric domains via the maximum principle

Abstract

In this paper we study the positive solutions of the equation −Δu + λu = f(u) in a bounded symmetric domain Ω in ℝ^N , with the boundary condition u = 0 on ∂Ω . Using the maximum principle we prove the symmetry of the solutions v of the linearized problem. From this we deduce several properties of v and u ; in particular we show that if N = 2 there cannot exist two solutions which have the same maximum if f is also convex and that there exists only one solution if f(u) = u^p and λ = 0 . In the final section we consider the problem −Δu = u^p + μu^q in Ω with u = 0 on ∂Ω , and show that if 1 < p <\frac{N + 2}{N - 2} , q on ]0,1[ there are exactly two positive solutions for μ sufficiently small and some particular domain Ω . Résumé Dans ce travail nous étudions les solutions positives du problème \begin{cases} - \Delta u + \lambda = f\left(u\right) & \text{dans }\Omega \\ u = 0 & \text{sur le bord }\Omega \end{cases} où Ω est un domaine borné et symétrique dans ℝ^N . Avec l’aide du principe de maximum nous prouvons la symétrie des solutions v du problème linéarisé. A partir de ce résultat nous déduisons plusieurs propriétés de v et u ; en particulier nous montrons que si f est convexe et N = 2 on ne peut pas avoir deux solutions différentes qui ont le même maximum. On prouve aussi qu’il y a une seule solution si f(u) = u^p et λ = 0 . Dans la dernière section nous étudions le problème \begin{cases} - \Delta u = u^{p} + \mu u^{q} & \text{dans }\Omega \\ u = 0 & \text{sur le bord de }\Omega \end{cases} et montrons que si 1 < p < N + 2/N − 2 , 0 < q < 1 et μ est petite il y a exactement deux solutions positives dans quelques domaines particuliers.