On nonexistence of positive solutions of quasi-linear inequality on Riemannian manifolds

Abstract

We investigate the nonexistence of a positive solution to the following differential inequality: <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row with Label left-parenthesis 1 right-parenthesis EndLabel d i v left-parenthesis StartAbsoluteValue nabla u EndAbsoluteValue Superscript m minus 2 Baseline nabla u right-parenthesis plus u Superscript sigma Baseline less-than-or-equal-to 0 comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable side="left" displaystyle="false"> <mml:mlabeledtr> <mml:mtd> <mml:mtext>(1)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation} div(|\nabla u|^{m-2}\nabla u)+u^{\sigma }\leq 0, \tag {1} \end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> on a noncompact complete Riemannian manifold, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m&gt;1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma greater-than m minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma &gt;m-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are parameters. Our main result is as follows: If the volume of a geodesic ball of radius <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with a fixed center <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x 0"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x_0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is bounded for large enough <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C r Superscript p Baseline ln Superscript q Baseline r"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Cr^{p}\ln ^qr</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p equals StartFraction m sigma Over sigma minus m plus 1 EndFraction comma q equals StartFraction m minus 1 Over sigma minus m plus 1 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> −