Weighted norm inequalities for fractional integrals

Abstract

The principal problem considered is the determination of all nonnegative functions, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper T Subscript gamma Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis upper V left-parenthesis x right-parenthesis double-vertical-bar Subscript q Baseline less-than-or-equal-to upper C double-vertical-bar f left-parenthesis x right-parenthesis upper V left-parenthesis x right-parenthesis double-vertical-bar Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \|{T_\gamma }f(x)V(x)\right \|_q \leq C\left \|f(x)V(x)\right \|_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where the functions are defined on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R Superscript n Baseline comma 0 greater-than gamma greater-than n comma 1 greater-than p greater-than n slash gamma comma 1 slash q equals 1 slash p minus gamma slash n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{R^n},0 &gt; \gamma &gt; n,1 &gt; p &gt; n/\gamma ,1/q = 1/p - \gamma /n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <italic>C</italic> is a constant independent of <italic>f</italic> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript gamma Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis equals integral f left-parenthesis x minus y right-parenthesis StartAbsoluteValue y EndAbsoluteValue Superscript gamma minus n Baseline d y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo largeop="false">∫</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{T_\gamma }f(x) = \smallint f(x - y)|y{|^{\gamma - n}}dy</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The main result is that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is such a function if and only if <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis StartFraction 1 Over StartAbsoluteValue upper Q EndAbsoluteValue EndFraction integral Underscript upper Q Endscripts left-bracket upper V left-parenthesis x right-parenthesis right-bracket Superscript q Baseline d x right-parenthesis Superscript 1 slash q Baseline left-parenthesis StartFraction 1 Over StartAbsoluteValue upper Q EndAbsoluteValue EndFraction integral Underscript upper Q Endscripts left-bracket upper V left-parenthesis x right-parenthesis right-bracket Superscript minus p prime Baseline d x right-parenthesis Superscript 1 slash p prime Baseline less-than-or-equal-to upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(