Existence and uniqueness results for nonlinear elliptic problems with a lower order term and measure datum

Abstract

In this Note we consider a class of noncoercive nonlinear problems whose prototype is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" mode="display"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>△</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mspace width="10.0pt"/> <mml:mi>in</mml:mi> <mml:mspace width="3.30002pt"/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="10.0pt"/> <mml:mspace width="10.0pt"/> <mml:mi mathvariant="normal">u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="10.0pt"/> <mml:mi>on</mml:mi> <mml:mspace width="3.30002pt"/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is a bounded open subset of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> ( N ⩾2), △ p is the so called p -Laplace operator (1&lt; p &lt; N ) or a variant of it, μ is a Radon measure with bounded variation on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> or a function in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , λ ⩾0 and b belongs to the Lorentz space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> or to the Lebesgue space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We prove existence and uniqueness of renormalized solutions.